1) принять участие в чём-либо; подписаться под чем-либо 2) выставить свою кандидатуру на (какой-либо пост)
(put one's (или somebody's) name down for something) подписаться (или подписать кого-либо) на что-либо (на такую-то сумму); записаться (или записать кого-либо) на что-либо (на билет, в список участников и т. п.) Например: Will you allow me to put my name down for another dance? I think that our steps suit. (H. R. Haggard, The Witch's Head. vol. I, ch. VIII) — Разрешите записаться еще на один танец? Мне кажется, что мы с вами станцевались. Tommy's name was put down as a temporary member. (A. Christie, N or M?, ch. III) — Томми приняли в качестве временного члена клуба.